von Lars Siemer, Jens Rademacher und Marc Keßeböhmer

Der Fokus der universitären Mathematik liegt in der Forschung, die daher als Merkmal in die Lehrveranstaltungen eingebracht werden sollte. Dies kann durch Elemente des Forschenden Lernens umgesetzt werden und zeichnet sich besonders dadurch aus, dass die Studierenden den Prozess von der Entwicklung einer Frage über die Auswahl geeigneter Methoden und deren Ausführung bis zur Darstellung der Ergebnisse in eigenständiger Arbeit oder innerhalb einer Gruppe aktiv mitgestalten. Demzufolge werden erste Erfahrungen in forschungsartigen Prozessen gesammelt und das Reflektieren eigener Ergebnisse erlernt. Unterschiedliche Elemente, die alle zusammen dazu beitragen, Forschendes Lernen im Lehrbetrieb im Vollfachstudium Mathematik zu etablieren, werden im folgenden Beitrag dargestellt und zudem über erste Erfahrungen berichtet.

Das Rahmenprojekt „ForstAintegriert“ hat als Folgeprojekt des im Qualitätspakt Lehre geförderten Projektes „ForstA“ (Forschend Studieren von Anfang an) zum Ziel, die Qualität von Lehre und Studium an der Universität Bremen weiter auf Forschendes Studieren auszurichten und so zu verbessern. Innerhalb der Mathematik steht in diesem Zusammenhang das Projekt ForMath (Forschungsorientierung in den Bachelorstudiengängen Mathematik) für neue Ansätze zur Ausrichtung auf das Forschende Lernen. Als aktive Lernform ist Forschendes Lernen in den letzten Jahren verstärkt in den Fokus der hochschuldidaktischen Diskussion gerückt und erlebt insbesondere im Rahmen des Qualitätspakts Lehre ein Comeback (Huber, 2009). Wissenschaftliche Forschung ist eine Kerntätigkeit der Universitäten und ein fortwährender Prozess, an dem Studierende in der Mathematik typischerweise erst am oder nach Ende des Studiums im engeren Sinne aktiv teilnehmen. Forschungsähnliche Erfahrungen sind in der Mathematik aber deutlich früher möglich und dies gelingt offenbar dadurch am besten, dass man bereits in den Lehrveranstaltungen eine forschende Haltung etabliert und subjektive Forschungserfahrungen ermöglicht und fördert. Die Elemente des Forschenden Lernens in den Grundveranstaltungen zielen darauf ab, diese Herangehensweise gleich zu Beginn des Studiums zu implementieren, um so das Studieren von Anfang an auf wissenschaftliche Arbeitsweisen auszurichten.

Erste Erfahrungen zu unterschiedlichen Formen Forschenden Lernens wurden in den Einführungsveranstaltungen Analysis 1 und 2 am Fachbereich 3 der Universität Bremen gesammelt (Bikner-Ahsbahs, Dreher & Schäfer, 2013). Im Rahmen dieser AnfängerInnenvorlesungen wurden in den ersten beiden Semestern für die Studiengänge Vollfach Mathematik (VF), Technomathematik (TM) und Lehramt Mathematik an Gymnasien/Oberschulen (LA) die sogenannten Plenumsprojekte eingeführt. Hierbei durchlaufen die Studierenden in Ansätzen den Prozess eines Forschungsvorhabens vom selbstständigen Suchen einer Fragestellung, über das Generieren von Hypothesen bis zum Präsentieren von Ergebnissen. Diese ersten Maßnahmen zur konzeptionellen Verankerung des Forschenden Lernens im Studium waren jedoch auf das erste Studienjahr beschränkt (Schäfer, 2018).

Mit dem aktuellen Projekt ForMath stellen wir ein Konzept vor, wie eine weitergehende Implementierung Forschenden Lernens im Bachelorstudiengang Mathematik gelingen kann. In diesem Beitrag stellen wir die einzelnen Bestandteile des Forschenden Lernens als perspektivisch dauerhafte curriculare Komponente der Bachelorstudiengänge Mathematik dar und berichten über die Erfahrungen bei der Umsetzung. Insbesondere wird auf eine neue Art von Projekten, den sogenannten ForschungsErfahrungen im Bachelorstudiengang Mathematik, eingegangen und anhand von zwei Beispielprojekten beschrieben.

Forschendes Lernen

Im Gegensatz zur Definition von Huber (2009) kann Forschendes Lernen innerhalb der Anfangsveranstaltungen im Bachelorstudiengang Mathematik nicht zum Ziel haben, neues, für Dritte interessantes Wissen und Ergebnisse zu erzeugen (Schäfer, 2018, vgl. auch Link & Schnieder, 2016). Der Fokus sollte vielmehr darauf liegen, erste subjektive Forschungserfahrungen in Verbindung mit einem sozialen Lernen in kleinen Gruppen zu ermöglichen und zu fördern. An einzelnen konkreten Fragestellungen wird erlernt, wie mathematische Erkenntnis erzeugt werden kann, aber auch wie man mathematisches Wissen für andere verständlich darstellt und Rückmeldungen produktiv nutzt. Die dabei auftretenden Anforderungen an die Studierenden sind hoch, was eine zielführende und fördernde Betreuung der Gruppen unerlässlich macht. Innerhalb von ForMath wird dies durch Projektarbeiten in Kleingruppen im Rahmen des sogenannten Plenums über ein komplettes Semester realisiert. Erfahrungen aus den ersten Durchläufen haben gezeigt, dass eine Verschiebung der Projekte vom ersten in das zweite Semester für das Vollfach von Vorteil sein kann. Im ersten Semester entsteht so Platz für vorbereitende Angebote, während sich die Projekte im zweiten Semester stärker auf den mathematischen Gegenstand fokussieren können, da schon eine erste Eingewöhnung in die Fachsprache und auch die epistemologischen Grundlagen der Mathematik vorliegen. Die Studierenden arbeiten hierzu üblicherweise in Gruppen von vier bis fünf Personen und sollen dabei ein Themenfeld durch eigene Forschungsfragen ergründen, explorieren und Hypothesen aufstellen sowie abschließend darüber im Rahmen einer Präsentation und einer Ausarbeitung berichten. Dazu wurden die bisherige Plenumsveranstaltung und die Übungen im ersten Studienjahr angepasst und insbesondere im zweiten Semester durch zusätzliche helpdesks ergänzt, ähnlich den in Großbritannien üblichen mathematics support centres (vgl. Croft & Grove, 2011). Dabei handelt es sich um ein zeitlich fixiertes, nicht verpflichtendes, unterstützendes Angebot von zwei Stunden pro Woche, in denen die Studierenden TutorInnen zu mathematischen Fragen und Problemen konsultieren können. Dieses Zusatzangebot wird nach ersten Rückmeldungen der Studierenden als sehr hilfreich wahrgenommen und intensiv genutzt. In diesem Zusammenhang wurden auch Schulungen der TutorInnen durchgeführt.

Forschertage Analysis

Den für Forschendes Lernen wichtigen Aspekt der Weitergabe und des Aufbereitens der Erkenntnisse für Dritte erfüllen die Vorträge im Plenum vor KommilitonInnen. Zusätzlich werden geeignete Projekte identifiziert, die für interessierte SchülerInnen im Rahmen des neu etablierten Forschertages Analysis vorgestellt werden. Nach einer ersten Auswahl geeigneter Projekte wird zusammen mit den beteiligten Studierenden die Anpassung des Materials an diese Zielgruppe vorgenommen. Die ersten Forschertage dieser Art fanden im Sommer 2017 statt, zu denen je ein Oberstufenkurs verschiedener Gymnasien an die Universität Bremen kam. Eines der Themen war die Analyse verschiedener Bifurkationen in der logistischen Gleichung, die die Entwicklung einer Population modellhaft darstellt und ein Beispiel dafür ist, wie komplexes und chaotisches Verhalten aus einfachen nichtlinearen Gleichungen entstehen kann (Abbildung 1).

Abbildung 1: Bifurkationsdiagramm (Feigenbaum-Diagramm) der logistischen Gleichung für Parameter zwischen eins und vier

Ein weiteres Thema bezog sich auf Untersuchungen fraktaler geometrischer Objekte, zum Beispiel das Sierpinski-Dreieck (Abbildung 2), welche sich durch eine nicht ganzzahlige Dimension auszeichnen.

Abbildung 2: Sierpinski-Dreieck mit Rekursionstiefe zehn

Bisher wurden vier solcher Forschertage für unterschiedliche Leistungs- und Grundkurse Mathematik der Oberstufe durchgeführt. Wir beabsichtigen, diesen Transfer von der Universität zu den Schulen dauerhaft anzubieten. Als passendes Zeitfenster haben sich die Zeiträume vor den Sommer- bzw. Herbstferien herausgestellt. Mit einer Arbeitsgruppengröße von acht bis neun SchülerInnen, die durch einen Studierenden betreut werden, haben wir sehr gute Erfahrungen gemacht. Bei den Studierenden bewirkte die Vorbereitung des Vortrags und das Erstellen geeigneter Aufgaben für die SchülerInnen sowie die Präsentation vor der Schülergruppen einerseits eine erneute Reflexion und ist andererseits durchaus eine berufsnahe Erfahrung für angehende WissenschaftlerInnen. Zudem können die Studierenden ihre individuellen Studienerfahrungen authentisch weitergeben und sich Fragen der SchülerInnen stellen. Ein begrüßenswerter Nebeneffekt ist die damit verbundene Werbung für ein Mathematikstudium an der Universität Bremen. Unsere bisherigen Erfahrungen mit dem Forschertag Mathematik sind durchgehend sehr positiv und die Nachfrage an Veranstaltungen dieser Art ist von Seiten der Schulen groß.

ForschungsErfahrungen im Bachelor-Studium

Um die Lehre forschungsorientierter zu gestalten und frühzeitig die Entwicklung wissenschaftlicher Kompetenzen zu fördern, wird seit dem Wintersemester 2017/18 Bachelorstudierenden die Möglichkeit eröffnet, an individuellen, strukturierten Forschungsprojekten teilzunehmen. Diese ForschungsErfahrungen im Bachelor-Studium (FE-Projekte) sind als Modul flexibel gehalten und können curricular ein Proseminar ersetzen oder in eine Bachelorarbeit übergehen. Zudem sind sie offen für internationale Studierende und eine geeignete Vorbereitung auf die mit dem Verfassen einer Bachelorarbeit verbundenen Arbeitsschritte sowie auf die im Master-Studium vorgesehenen Seminare und Reading Courses. Kernpunkt ist die frühzeitige Förderung wissenschaftlicher Kompetenzen und die Eröffnung neuer Wege in das weiterführende Studium. Die FE-Projekte geben den Studierenden die Möglichkeit, aktiv Forschung als Teil eines Teams durchzuführen. Sie erhalten über eine zentrale Datenbank eine Übersicht der zur Verfügung stehenden FE-Projekte aus allen Themengebieten des Fachbereichs Mathematik. Hinter diesen FE-Projekten stehen ProfessorInnen sowie WissenschaftlerInnen, welche die Studierenden als MentorInnen in ihren Forschungsgruppen aufnehmen und im Projekt unterstützen. Durch die praktische Umsetzung von Lehrinhalten erhalten die Studierenden eine intensivere Bindung zu ihrem Studienfach und werden frühzeitig mit der Praxis wissenschaftlicher Methoden ihres Fachgebietes vertraut gemacht. Dies fördert die fachliche sowie außerfachliche Entwicklung der Studierenden und zeigt ihnen Perspektiven im weiteren Studium und auch in der Forschung auf. Darüber hinaus knüpfen die Studierenden wichtige Kontakte zu WissenschaftlerInnen ihres Interessengebietes an der Universität Bremen und lernen die Bedeutung von Teamarbeit und Pflege und Ausbau eines Netzwerkes kennen. Die Lehrenden der Mathematik bieten einen Katalog von Projekten mit mathematischen Problemstellungen an, die typischerweise einen konkreten Bezug zur aktuellen Forschung der jeweiligen Arbeitsgruppe haben. Das Angebot richtet sich vorwiegend an Studierende ab dem dritten Studienjahr; es gewährt ihnen Einblicke in mathematische Forschung und die Möglichkeit, das eigene Potential zu erproben. Die Projekte sollten zeitlich flexibel gehalten und einzeln oder in Kleingruppen und eingebettet in die Aktivitäten der Arbeitsgruppen bearbeitet werden. Dies gilt auch für die räumliche Unterbringung, um so den wissenschaftlichen Austausch zwischen den Teilnehmenden und Betreuenden optimal zu fördern. Nach Möglichkeit sind die Projekte nationalen und internationalen Studierenden von außerhalb der Universität Bremen zugänglich und knüpfen an die in den USA sehr erfolgreichen Research Experiences for Undergraduates (REU) an. Die beteiligten Studierenden werden motiviert, unter Anleitung ihre Ergebnisse auf einer passenden Internetplattform zu veröffentlichen, um so die zur Forschung gehörige Publikationserfahrung zu sammeln. Unsere bisherigen Erfahrungen seit Beginn des Angebots im Wintersemester 2017/18 sind überaus erfreulich. Aus den Rückmeldungen ergab sich, dass die Studierenden der Forschungscharakter dieser Projekte begeisterte und die MentorInnen von dem großen Engagement und von den sehr guten Ergebnissen positiv überrascht waren. Kommunikationsplattform zu FE-Projekten ist die bilingual deutsch/englisch gehaltene Internetseite: https://www.feb.uni-bremen.de, auf der Kurzbeschreibungen der Projekte sowie die verantwortlichen DozentInnen aufgeführt werden. Zudem ist dort ein Archiv mit exemplarisch ausgewählten Projektberichten zu finden. Insgesamt wurden bisher vier Projekte abgeschlossen, von denen eines von zwei internationalen Studierenden erfolgreich fertiggestellt wurde, und mehrere weitere Projekte befinden sich zurzeit in Bearbeitung.

Beispielhaft stellen wir kurz die Projekte „Abhängigkeit des Einkommens von soziodemografischen Merkmalen“ und „Controlling Branch Switching in Numerical Continuation with PDE2PATH“ dar. Ersteres wurde in einer Zweiergruppe von Jan Klüver und Chris Michel Peters, Studenten im fünften Fachsemester Vollfach-Bachelor Mathematik, während des Sommersemesters 2018 bearbeitet und von Herrn Prof. Dickhaus sowie Herrn Steffens betreut und koordiniert. Nach einem ersten Treffen, in dem der Rahmen vereinbart wurde, arbeiteten sich die Studenten in den thematischen Hintergrund ein. Dies geschah auf Basis von bereitgestellter Fachliteratur, aber auch durch eigene Recherche der beiden Studenten. Während des Semesters wurden in regelmäßigen Abständen Treffen zwischen den Betreuern und den Teilnehmern abgehalten, welche von den Studenten initiiert wurden. Darin wurde der aktuelle Stand und das weitere Vorgehen besprochen, also ein regelmäßiger fachlicher Austausch gesichert und das Ziel des Projektes in dieser Zeit konkretisiert. Am Ende des Projektes präsentierten die Studenten ihre Ergebnisse im Gruppenseminar der Arbeitsgruppe von Herrn Dickhaus und erstellten im Anschluss eine Ausarbeitung, welche auf der Internetseite der FE-Projekte frei zugänglich ist.

Das zweite Projekt wurde von Maria Höffmann, Studentin im fünften Fachsemester des Vollfach-Bachelor, im Wintersemester 2017/18 bearbeitet und betraf Untersuchungen zur sogenannten deflated continuation, einer Methode zur Erweiterung bekannter Verfahren der numerischen Detektion und Pfadverfolgung von Lösungen partieller Differentialgleichungen, welche in der Literatur noch kaum behandelt wurde. Das Projekt wurde von Herrn Prof. Rademacher und Herrn Siemer betreut. Frau Höffmann wurde ein Arbeitsplatz innerhalb der Arbeitsgruppe bereitgestellt, von dem sie regelmäßig einige Stunden pro Woche Gebrauch gemacht hat. Neben intensiven Gesprächen über das Projekt konnten dabei kleinere Fragen unmittelbar gelöst werden. Dies eröffnete auch die Möglichkeit, direkt mit der Arbeitsgruppe in Kontakt zu stehen und weitere Forschungsschwerpunkte kennenzulernen. Die Arbeit umfasste zunächst die Einarbeitung in das Software-Paket PDE2PATH und in Grundlagen der numerischen Pfadverfolgung sowie der zugehörigen mathematischen Theorie, die auf Studieninhalten aufbaut. Dies erfolgte in kleinen Abschnitten, in denen der Teilnehmerin Fachliteratur bereitgestellt wurde und aufkommende Fragen in den ersten Treffen besprochen wurden. Auf Basis dieser Grundlagen konnte die Studentin erfolgreich erste Aufgaben selbst implementieren und entwickelte darauf aufbauend einen eigenen Algorithmus zur Lösung bestimmter Problemklassen. Zudem wurde der Algorithmus analytisch unter Verwendung der zuvor erlernten Theorie behandelt und Vorhersagen über das Verhalten getroffen. Dabei kamen einige Ideen zur Verbesserung bzw. Erweiterungen des Algorithmus sowie der Einbindung in das Softwarepaket PDE2PATH auf. Die Ergebnisse des FE-Projektes wurden von Frau Höffmann am Semesterende in einem Vortrag im Seminar der Arbeitsgruppe vorgestellt und eine Projektausarbeitung in englischer Sprache angefertigt, die auf der Internetseite der FE-Projekte frei zugänglich ist.

Abbildung 3: TeilnehmerInnen der FE-Projekte (v.l.n.r.): Jan Klüver, Chris Michel Peters und Maria Höffmann

Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass die Teilnehmenden durch das FE-Projekt einen ersten Einblick in das selbstständige wissenschaftliche Arbeiten erhielten. Dies erfolgte zum einen durch die Erarbeitung eines mathematischen Themas nach Literaturvorlage und auf Basis bekannter Studieninhalte, zum anderen durch die Vorbereitung einer Präsentation und der Erstellung einer wissenschaftlichen Ausarbeitung. Diese Erfahrungen werden den Studierenden im Verlauf ihres Studiums im Bereich der Erstellung mathematischer Texte und deren Präsentation eine Grundlage bieten. Insgesamt wurde das Arbeiten an den bisherigen Projekten sowohl von den Studierenden als auch von den betreuenden MentorInnen als überaus ergiebig wahrgenommen. Insbesondere wurde die freie Zeitgestaltung aber auch die Eigenverantwortung innerhalb des Projektes als ausgesprochen motivierend erlebt. Zwar zeigen die bisherigen Erfahrungen, dass diese Projekte im Vergleich zu einem curricular äquivalenten Proseminar sowohl für die Studierenden als auch die Betreuenden mit einem größeren Einsatz verbunden sind, der Mehraufwand sich aber in allen Fällen für beide Seiten sehr gelohnt hat.

Die bisherige Umsetzung zeigt, wie die einzelnen Maßnahmen geholfen haben, den Aspekt der Forschungsorientierung im Bachelorstudiengang Mathematik deutlich zu erweitern. Die beschriebenen Maßnahmen sollen fortgesetzt, evaluiert und weiterentwickelt werden, um so eine Basis zur nachhaltigen Implementierung zu schaffen. Insbesondere die FE-Projekte zeigen nach den bisherigen Erfahrungen einen Mehrwert für die Studierenden und sind möglicherweise ein Modell in anderen Studiengängen. Zudem zeigt die bisherige Nachfrage bezüglich des Forschertages Mathematik einen hohen Bedarf der Schulen an solchen von Studierenden durchgeführten Projekttagen.

Literatur:

• Siemer, L., Schäfer, I., Rademacher, J., Keßeböhmer, M. (2019): Von explorierenden Aufgaben bis zur Mitarbeit im Forschungsteam – Forschungsgelegenheiten im Bachelorstudiengang Mathematik. Erscheint in Thomas Hoffmeister, Henning Koch & Peter Tremp (Hrsg.), Forschendes Lernen als Studiengangsprofil: Zum Lehrprofil einer Universität. Springer Verlag.
• Bikner-Ahsbahs, A., Dreher, F., Schäfer, I. (2013): Forschendes Lernen von Anfang an? – Plenumsprojekte in Analysis und Linearer Algebra. In: Huber, L., Kröger, M., Schelhowe, H. (Hrsg.): Forschendes Lernen als Profilmerkmal einer Universität. Bielefeld: UVW, S. 73-90.
• Croft, T. & Grove, M. (2011), Editoren. Tutoring in a mathematics support centre. The National HE STEM Programme, University of Birmingham. Abgerufen am 20. Februar 2019, von http://www.sigma-ac.uk/wp-content/uploads/2012/11/46836-Tutoring-in-MSC-Web.pdf
• Huber, L. (2009). Warum Forschendes Lernen nötig und möglich ist. In F. Schneider, J. Hellmer, & L. Huber (Hrsg.), Forschendes Lernen im Studium (S. 9–35). UniversitätsVerlagWebler.
• Link, F., Schnieder, J. (2016). Mathematisch forschend lernen in der tertiären Bildung W. Paravicini, J. Schnieder (Hrsg.): Hanse-Kolloquium zur Hochschuldidaktik der Mathematik 2014. Münster: WTM Verlag.

Über die Autoren:

Lars Siemer (FB03), wissenschaftlicher Mitarbeiter im Projekt ForMath und Mitglied der Arbeitsgruppe Angewandte Analysis und nichtlineare Dynamik

Prof. Dr. Jens Rademacher (FB03), Leiter der Arbeitsgruppe Angewandte Analysis und nichtlineare Dynamik

Prof. Dr. Marc Keßeböhmer (FB03), Leiter der Arbeitsgruppe Dynamische Systeme & Geometrie, ehemaliger Studiendekan und Mitglied des Bündnisses Lehreⁿ im Jahrgang 2010

Bildnachweise:

Abbildung 1 bis 3, Autorenfoto: Lars Siemer; Jens Rademacher; Marc Keßeböhmer