{"id":3640,"date":"2024-08-15T08:47:09","date_gmt":"2024-08-15T06:47:09","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.uni-bremen.de\/scienceblog\/?p=3640"},"modified":"2024-07-15T08:49:07","modified_gmt":"2024-07-15T06:49:07","slug":"mathematik-als-zauberformel-wie-wir-die-welt-mit-modellen-erklaeren","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.uni-bremen.de\/scienceblog\/2024\/08\/15\/mathematik-als-zauberformel-wie-wir-die-welt-mit-modellen-erklaeren\/","title":{"rendered":"Mathematik als Zauberformel – Wie wir die Welt mit Modellen erkl\u00e4ren"},"content":{"rendered":"

Von Pascal Dinglinger<\/em><\/span><\/p>\n

\"\"Abbildung 1 – Zunge des Thwaites (Doomsday) Gletschers in der Westantarktis. Seine Fl\u00e4che ist mehr als doppelt so gro\u00df wie \u00d6sterreich und er gilt als wichtiger Indikator f\u00fcr die Auswirkungen des Klimawandels. Aus diesem Grund ist der Gletscher im Fokus einer Vielzahl von Untersuchungen mittels mathematischer Modellierung wie zum Beispiel durch die International Thwaites Glacier Collaboration (ITGC). [1]<\/span><\/span><\/p>\n

Was haben Br\u00fccken, Flugzeuge und Klima gemeinsam? Sie alle la<\/strong>ssen sich durch verschiedene mathematische Modelle beschreiben. Doch wie genau funktionieren diese Modelle und welche Rolle spielt die Mathematik dabei? Begleite <\/strong>uns <\/strong>auf einer kleinen Reise durch eine Welt voller komplexer Ph\u00e4nomene. Erfahre hier, welche R<\/strong>o<\/strong>lle mathematische Modelle in der Praxis spielen. Wir zeigen euch, wie sie uns helfen k\u00f6nnen, den Klimawandel besser zu verstehen und Forschern erm\u00f6glichen, sogar den Einfluss gigantischer Gletscher wie Thwaites auf den globalen Meeresspiegel zu berechnen. <\/strong><\/span><\/p>\n

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Der ein oder andere mag sich noch an die mathematischen Werkzeuge der einschl\u00e4gigen Sch\u00fclerInnen erinnern: Trigonometrie, binomische Formeln, Kurvendiskussion und vieles mehr. F\u00fcr die IngenieurInnen und KlimaforscherInnen stellt die mathematische Modellierung eine Kombination aus diesen bekannten und neuen, komplexeren Methoden dar. Die mathematische Modellierung ist dabei wie ein Werkzeugkoffer, welcher das passende Equipment hat, um reale Probleme und Fragen zu behandeln. So werden unter anderem partielle Differentialgleichungen (PDEs) verwendet, um komplexe Systeme mathematisch auszudr\u00fccken. Ein Beispiel hierf\u00fcr ist die Navier-Stokes Gleichung, mit der sich unter anderem Str\u00f6mungen von Fl\u00fcssigkeiten und Gasen beschreiben lassen. Mit diesen Werkzeugen l\u00e4sst sich auch der Klimawandel oder die Schmelze von Gletschern als mathematisches Problem formulieren. [2] <\/span><\/p>\n

Hierbei gibt es einige spezielle Begriffe, die wir uns genauer ansehen wollen.<\/span><\/p>\n

Dom\u00e4nen und Systeme – Wo sind wir und was machen wir?<\/strong><\/span><\/p>\n

Beim Entwickeln eines mathematischen Modells beginnt man in der Regel mit der Betrachtung der Dom\u00e4ne und des Systems. Doch was bedeuten diese Begriffe eigentlich? Stell dir vor, du bist ein\/e ArchitektIn und erh\u00e4ltst den Auftrag, ein Haus zu bauen. Die Dom\u00e4ne ist dabei der Ort, an dem das Haus entstehen soll. Du musst die Bodenbeschaffenheit, die klimatischen Bedingungen und die geltenden Vorschriften verstehen. Erst wenn du die Dom\u00e4ne verstanden hast, kannst du mit dem Entwurf des Hauses beginnen. Das System umfasst dann die konkreten Objekte, wie Steine, Dachziegel und Fenster, aus denen das Haus besteht.<\/span><\/p>\n

In der mathematischen Modellierung verh\u00e4lt es sich \u00e4hnlich. Im Fall des Thwaites Gletschers wird das Gebiet, \u00fcber das sich der Gletscher erstreckt, als Dom\u00e4ne betrachtet. Bevor die Modellierung beginnen kann, ist ein besseres Verst\u00e4ndnis der Dom\u00e4ne erforderlich. WissenschaftlerInnen st\u00fctzen sich hierbei auf eine Vielzahl von Messungen, etwa von Satellitenbildern oder Exkursionen zum Gletscher. Dabei kommen verschiedene ExpertInnen zusammen, um ihr Dom\u00e4nenwissen zu b\u00fcndeln.<\/span><\/p>\n\n\n\n
Thwaites Gletscher<\/strong>:<\/strong><\/span><\/p>\n

Dom\u00e4ne und System des Thwaites Gletschers sind \u00e4u\u00dferst kompliziert. Der Gletscher umfasst nicht nur ein riesiges Gebiet (192.000 km2) sondern ver\u00e4ndert sich auch rasant. Die Oberfl\u00e4che des Gletschers bewegt sich teils mehr als 2 km pro Jahr und Thwaites tr\u00e4gt allein mit 4 % zum globalen Anstieg des Meeresspiegels bei. W\u00fcrde er vollst\u00e4ndig kollabieren, w\u00fcrden die Ozeane global 65 cm ansteigen. [3]<\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Ein mathematisches Modell ist letztlich eine vereinfachte Darstellung eines Systems. Es besteht aus Gleichungen und Variablen, die die Beziehungen zwischen den verschiedenen Elementen des Systems beschreiben. Dabei ist die Dom\u00e4ne nicht nur der Raum, in dem das Modell operiert, sondern sie wird selbst zu einem integralen Bestandteil des Modells. Ziel ist es, das Verhalten des Systems vorherzusagen und zu verstehen, wie es auf verschiedene \u00c4nderungen reagieren wird. Eine erfolgreiche Modellierung erfordert daher nicht nur ein tiefes Verst\u00e4ndnis der Dom\u00e4ne, sondern auch eine sorgf\u00e4ltige Entwicklung des Modells selbst.<\/span><\/p>\n

Deterministische Modelle<\/strong><\/span><\/p>\n

Zur\u00fcck zum Klimawandel: Hier gibt es einige M\u00f6glichkeiten, was f\u00fcr eine Art Modell wir nutzen. Die bereits erw\u00e4hnte Navier-Stokes Gleichung wird oft f\u00fcr sogenannte deterministische Modelle eingesetzt. Ein solches Modell beruht auf klar formulierten Beziehungen zwischen Ursache und Wirkung. Zum Beispiel schmilzt ein Eisw\u00fcrfel wesentlich schneller, je w\u00e4rmer es in der Umgebung ist. Die Kombination aller m\u00f6glichen Ursachen und Wirkungen l\u00e4sst sich ebenfalls mit Gleichungen ausdr\u00fccken.<\/span><\/p>\n

Bei einem deterministischen Modell schaut man sich die Einfl\u00fcsse an, die den Gro\u00dfteil des Systems ausmachen. WissenschaftlerInnen m\u00fcssen hierbei die Entscheidung treffen, wie ausf\u00fchrlich das Modell werden soll. Je mehr Einfl\u00fcsse und Wirkungen im Modell ber\u00fccksichtigt werden, desto komplexer und schwieriger wird es, das Modell zu berechnen. Hierbei hat jede Komponente einen klar bestimmbaren Einfluss auf das Gesamtsystem. Dieser und ein paar andere Punkte sind f\u00fcr die MathematikerInnen sehr wichtig, um unter anderem zu beweisen, dass ein Modell und die berechnete L\u00f6sung eindeutig zueinander passen. Wie solche Vereinfachungen aussehen k\u00f6nnen, ist zum Beispiel in der folgenden Abbildung zu sehen, wo der Gletscher in kleinere Teile unterteilt wird. Dar\u00fcber hinaus werden beispielsweise auch unterschiedliche Gleichungen verwendet, um den Einfluss von Reibung zwischen Gletscher und Meeresboden abzusch\u00e4tzen. Einfachere Gleichungen erleichtern oft die Modellierung erheblich.<\/span><\/p>\n\n\n\n
Mathematik in der Anwendung: <\/strong><\/span><\/p>\n

L\u00f6sungen von PDEs lassen sich mit Methoden wie der Finiten Elemente Methode (FEM) berechnen. Bei dieser wird eine Dom\u00e4ne in viele kleine Teile, die finiten Elemente, unterteilt. MathematikerInnen arbeiten seit einigen Jahrzehnten an der Verfeinerung dieser Methode und dazugeh\u00f6renden Theorien. Bis heute sind Variationen der FEM und M\u00f6glichkeiten zur Absch\u00e4tzung und Abgrenzung der Fehler Gegenstand der Forschung. Auch in der Uni Bremen gibt es eine Arbeitsgruppe, die in diesem Umfeld forscht (AG Numerik PDE<\/u><\/a>).<\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

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Abbildung 2 – FEM Beispiel der Bewegung des Thwaites Gletschers: Je dunkler ein Bereich, desto schneller bewegt dieser sich. Der Gletscher wird hier in viele kleine St\u00fcckchen (Elemente)\u00a0 zerteilt, die zwischen 100 m und 450 m gro\u00df sind. Dies vereinfacht die Berechnung des Gesamtmodells. [4]<\/span><\/p>\n

Stochastische Modelle<\/strong><\/span><\/p>\n

Eine g\u00e4nzlich andere M\u00f6glichkeit, mathematische Modelle zu entwickeln, bieten stochastische Modelle. Anders als bei deterministischen Modellen wird hier nicht versucht, eine exakte L\u00f6sung mit den getroffenen Annahmen zu berechnen. Stattdessen betrachtet man manche Teile eines Systems als zuf\u00e4llig bzw. variabel. Das kann zum Beispiel genutzt werden, um die Arbeitsleistung einer Gruppe von Menschen zu modellieren. Hierbei k\u00f6nnte eine Person mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit krank werden und zeitweise ausfallen. Wenn jemand nun unser Klima modellieren m\u00f6chte, gibt es viele Faktoren, die wir nicht exakt bestimmen k\u00f6nnen. Hier ist die St\u00e4rke von stochastischen Modellen, dass Unsicherheiten in Messdaten oder Modellparametern in das Modell mit eingebracht werden k\u00f6nnen. Auf diese Weise kommen h\u00e4ufig unterschiedliche Klimaszenarien zustande, bei denen unbekannte Parameter ver\u00e4ndert werden.<\/span><\/p>\n

Neuronale Netze<\/strong><\/span><\/p>\n

Eine besondere Rolle zwischen stochastischen und deterministischen Modellen nehmen k\u00fcnstliche neuronale Netze (KNNs) ein. Diese speziellen Modelle kommen eigentlich aus dem Gebiet des maschinellen Lernens, werden aber auch zu den mathematischen Modellen gez\u00e4hlt. Diese Modelle werden mit bekannten Daten trainiert und \u201clernen\u201d dadurch Vorhersagen zu machen. Nach diesem Training sind KNNs h\u00e4ufig in der Lage, komplizierte Zusammenh\u00e4nge nachzubilden und k\u00f6nnen auch auf neue, unbekannte Daten angewendet werden. Nach dem Training ist ein klassisches<\/em> KNN deterministisch. Das hei\u00dft, dass es bei gleichen Werten das gleiche Ergebnis liefert. Da beim Training jedoch meist zuf\u00e4llige Variationen einflie\u00dfen, kann ein KNN auch als stochastisches Modell bezeichnet werden.<\/span><\/p>\n

Das Zentrum f\u00fcr Industriemathematik der Uni Bremen forscht auch an der Nutzung von maschinellem Lernen, um aktuelle Herausforderungen anzugehen. Unter anderem forscht die Arbeitsgruppe Inverse Probleme und Bildverarbeitung<\/u><\/a> an der Verwendung von KNNs, um sogenannte Inverse Probleme zu l\u00f6sen.<\/span><\/p>\n\n\n\n
Zufall im Neuronalen Netz:<\/strong><\/span><\/p>\n

Bei neuronalen Netzen werden typischerweise an mehreren Stellen zuf\u00e4llige Variationen eingebracht. Einerseits nimmt man h\u00e4ufig einen zuf\u00e4lligen Anfangszustand, bei dem das Training beginnt. Andererseits werden Trainingsdaten meist zuf\u00e4llig ver\u00e4ndert. Dies verbessert oft die Generalisierung und Robustheit eines KNNs. Das bedeutet, es funktioniert nach dem Training oft besser auf neuen, unbekannten Daten, die sich von den Trainingsdaten unterscheiden.<\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Mathematische Modellierung an der Uni Bremen<\/strong><\/span><\/p>\n

Jetzt haben wir einen kleinen Einblick in eine Auswahl von mathematischen Modellen bekommen. Wer nun denkt \u201cDa habe ich richtig Lust bekommen mehr zu erfahren!\u201d darf sich freuen. Man muss nicht unbedingt Mathe studieren, um diese unterschiedlichen M\u00f6glichkeiten zur Beantwortung von Forschungsfragen kennenzulernen. Du kannst zum Beispiel als IngenieurIn die Feinheiten der FEM lernen und damit Str\u00f6mungen, Energiesysteme oder Geb\u00e4ude simulieren. [5] Oder siehst du dich eher in den Wirtschaftswissenschaften mit \u00f6konomische Modelle oder versuchst sogar die Rechtssprechung mit Statistik zu verbessern? [6] Oder wer einen Blick in die mathematische Glaskugel werfen will, um die Zukunft unserer Gletscher besser zu verstehen, kann dies im Bereich der Geowissenschaften machen. [7]<\/span><\/p>\n

Aber das ist noch nicht alles! Diejenigen, die das Thema begeistert, finden in fast allen Disziplinen die M\u00f6glichkeit, mathematische Modelle zu nutzen.<\/span><\/p>\n

Und um die Frage vom Anfang zu beantworten: Flugzeuge, Br\u00fccken und auch unser Klima werden alle durch mathematische Modelle beschreibbar. Ob ein neu entworfenes Flugzeug tats\u00e4chlich fliegt, eine Br\u00fccke auch nach 30 Jahren noch h\u00e4lt oder welcher Hebel heute der effektivste ist, um gegen den Klimawandel vorzugehen – das sind alles komplexe Fragen, bei denen uns die Mathematik das Leben etwas leichter macht und hilft, eine Antwort zu finden.<\/span><\/p>\n

Quellen & Verweise:<\/strong><\/span><\/p>\n

[1]: https:\/\/www.jpl.nasa.gov\/news\/west-antarctic-glacier-loss-appears-unstoppable, zuletzt aktualisiert am 08.04.2023, zuletzt gepr\u00fcft am 08.04.2023.<\/span><\/p>\n

[2]: Lorenz, E.N., 1970. Climatic change as a mathematical problem. Journal of Applied Meteorology and Climatology, 9(3), pp.325-329.<\/span><\/p>\n

[3]: Thwaites Glacier Facts, Online verf\u00fcgbar unter https:\/\/thwaitesglacier.org\/about\/facts<\/u><\/a>, zuletzt aktualisiert am 01.04.2024, zuletzt gepr\u00fcft am 01.04.2024<\/span><\/p>\n

[4]: Weakening of the pinning point buttressing Thwaites Glacier, West Antarctica (2023). Online verf\u00fcgbar unter https:\/\/doi.org\/10.5194\/tc-16-397-2022, zuletzt aktualisiert am 09.04.2023, zuletzt gepr\u00fcft am 09.04.2023.<\/span><\/p>\n

[5]: Str\u00f6mungsmechanik am ZARM in Bremen: https:\/\/www.zarm.uni-bremen.de\/de\/forschung\/stroemungsmechanik.html<\/u><\/a>, zuletzt gepr\u00fcft am 20.05.2024.<\/span><\/p>\n

[6]: Empirische Wirtschaftsforschung und angewandte Statistik an der Uni Bremen: https:\/\/www.uni-bremen.de\/empwifo\/forschung<\/u><\/a>, zuletzt gepr\u00fcft am 20.05.2024.<\/span><\/p>\n

[7]: Internationale Studie: Wie l\u00e4sst sich Gletscherschmelze genauer vorhersagen? (2020). Online verf\u00fcgbar unter https:\/\/www.marum.de\/Entdecken\/Internationale-Studie-Wie-laesst-sich-Gletscherschmelze-genauer-vorhersagen.html, zuletzt aktualisiert am 16.07.2020, zuletzt gepr\u00fcft am 09.04.2023.<\/span><\/p>\n

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